Cryptanalyse Des Systèmes à Base de Courbes Elliptiques à L'aide D'isogénies

**Cryptanalyse des systèmes à base de courbes elliptiques à l'aide d'isogénies // Cryptanalysis of elliptic curve systems via isogenies**:

- Réf **ABG-132009**
**ADUM-65178**
- Sujet de Thèse
- 16/05/2025
- Autre financement public
- Université de Picardie - Jules Verne
- Lieu de travail- Amiens - Les Hauts de France - France
- Intitulé du sujet- Cryptanalyse des systèmes à base de courbes elliptiques à l'aide d'isogénies // Cryptanalysis of elliptic curve systems via isogenies
- Champs scientifiques- Informatique
- Mots clés- courbe elliptique, Jacobienne de courbe, logarithme discret, cryptanalyse
elliptic curve, abelian variety, discrete logarithme, cryptanalysis

**Description du sujet**:

- Malgré le fait que des nouvelles primitives sont en cours ou viennent juste d'être standardisées par le NIST (National Institute of Standards and Technology), les primitives classiques représentent la majorité écrasante des primitives cryptographiques utilisées aujourd'hui pour garantir la confidentialité, l'authenticité et l'intégrité. Par ailleurs, en 2023, le NIST a revu les standards de signature basée sur les courbes elliptiques en adoptant EdDSA, un schéma basée sur les courbes d'Edwards. La cryptographie à base de couplages est également en cours de standardisation. Il est donc essentiel d'évaluer périodiquement la sécurité de ces systèmes.

Le problème du logarithme discret (DLP) est fondamental en cryptographie classique à base de courbes (hyper)elliptiques. Les isogénies transportent la loi du groupe et permettent donc de transférer le problème d'une Jacobienne de courbe où le DLP est difficile vers une Jacobienne de courbe « faible », c.a.d. où le DLP est facile à résoudre. Par conséquent, pour casser le logarithme discret sur une Jacobienne de courbe donnée, il suffit de trouver un chemin d'isogénies de celle-ci vers une Jacobienne de courbe faible.
L'objectif de cette thèse est de re-évaluer et améliorer les algorithmes existantes pour attaquer DLP dans des courbes elliptiques ordinaires, et plus généralement dans la Jacobienne ordinaires de courbes de petit genre, sous la lumière des travaux de Kani.

Despite the fact that new primitives are currently being standardized or have just been standardized by the NIST (National Institute of Standards and Technology), classical primitives still represent the overwhelming majority of cryptographic primitives used today to ensure confidentiality, authenticity, and integrity. Furthermore, in 2023, NIST revised its standards for elliptic curve-based signatures by adopting EdDSA, a scheme based on Edwards curves. Pairing-based cryptography is also in the process of being standardized. It is therefore essential to periodically evaluate the security of these systems.

The discrete logarithm problem (DLP) is fundamental in classical cryptography based on (hyper)elliptic curves. Isogenies preserve the group law and thus allow the problem to be transferred from a Jacobian of a curve where the DLP is hard to one where it is easy—that is, to a 'weak' Jacobian. Therefore, to break the discrete logarithm on a given Jacobian, it suffices to find an isogeny path from it to a weak Jacobian.

The goal of this thesis is to re-evaluate and improve existing algorithms for attacking the DLP on ordinary elliptic curves, and more generally on ordinary Jacobians of low-genus curves, in light of Kani's work.

Début de la thèse : 01/10/2025

**Nature du financement**:

- Autre financement public

**Précisions sur le financement**:

- ANR Financement d'Agences de financement de la recherche

**Présentation établissement et labo d'accueil**:

- Université de Picardie - Jules Verne

**Etablissement délivrant le doctorat**:

- Université de Picardie - Jules Verne

**Ecole doctorale**:

- 585 Sciences, Technologie, Santé
- Prérequis : courbes elliptiques, théorie de Galois, cryptographie. Des bases en théorie des nombres et géométrie algébrique, ainsi qu'en algorithmique et programmation sont bienvenues.
Prerequisites: Elliptic curves, Galois theory, cryptography. A background in number theory and algebraic geometry, as well as in algorithms and programming, is welcome.- 31/05/2025