Doctorant (F/H) [campagne, Welcome Package] Analyse

**Type de contrat **:CDD

**Niveau de diplôme exigé **:Bac + 5 ou équivalent

**Fonction **:Doctorant

**Niveau d'expérience souhaité **:Jeune diplômé

**Contexte et atouts du poste**:
La dynamique moléculaire peut être vue comme la réalisation pratique de la physique statistique, qui permet en principe d'obtenir des quantités macroscopiques à partir de lois d'interactions microscopiques entre les atomes composant un système physique. Ces lois sont encodées dans une fonction d'énergie potentielle. Les propriétés d'équilibre (comme la loi d'état d'un fluide ou sa capacité calorifique) sont obtenues comme des moyennes par rapport à des mesures de probabilité en dimension très grande, qui décrivent l'état macroscopique du système, typiquement une mesure de Boltzmann-Gibbs. Ces intégrales sont approchées en pratique par des moyennes ergodiques le long de trajectoires de dynamiques, notamment des discrétisations d'équations différentielles stochastiques comme l'équation de Langevin. Au-délà des propriétés d'équilibre, il est également intéressant de calculer des propriétés dynamiques. Un premier exemple est donné par les coefficients de transport, qui relient une perturbation induite sur le système et sa réponse en terme de flux (par exemple le flux d'énergie en réponse à un gradient de température pour la conductivité thermique). Un second exemple est le calcul des constantes de réaction pour des transformations chimiques, ou plus qualitativement les chemins de transitions possibles menant d'un état métastable à une autre.

Alors que de nombreuses méthodes ont été développées au cours des années pour calculer efficacement des propriétés d'équilibre (algorithmes d'échantillonnage non réversibles, méthodes de réduction de variance fondées sur l'utilisation de fonctions d'importance telles que l'énergie libre, le calcul des propriétés dynamiques reste encore coûteux. La difficulté essentielle réside dans la métastabilité des systèmes physiques, à savoir le fait qu'ils restent longtemps coincés dans un mode de la mesure de probabilité cible, avant de passer relativement rapidement à un autre mode de probabilité. Les états métastables peuvent correspondre par exemple à différentes conformations d'une molécule biologique, ou aux réactifs et produits d'une réaction chimique.

Le calcul des temps moyens pour passer d'un état à un autre, et la détermination de la loi des portions de trajectoires permettant de relier deux états métastables (trajectoires réactives), est une tâche difficile, voire impossible, avec des méthodes de simulation numérique directe. Il faut donc développer des algorithmes dédiés à l'échantillonnage de ces événements rares.

L'objectif de la thèse est de développer et améliorer des algorithmes d'échantillonnage d'événements rares, en transformant la compréhension acquise par une analyse mathématique en des méthodes numériques efficaces. Cette approche générale sera abordée selon divers angles.

**Mission confiée**:
**Pour une meilleure connaissance du sujet de recherche proposé**:
Un état de l'art, une bibliographie, des références scientifiques et une description détaillée du sujet de thèse sont disponibles à l'URL suivante:
**Directeurs de thèse**:
Le directeur de thèse sera Tony Lelièvre, avec Urbain Vaes en co-encadrant et Gabriel Stoltz en collaborateur.

**Principales activités**:
**Question 1.** Quantifier l’erreur faite sur les temps moyens de sortie et la distribution des points de sortie lorsque l’on ampute le disque de petites portions autour des trous de sortie. Cette quantification se fera à la fois du point de vue théorique (probablement en étudiant le processus stochastique sous-jacent) et numérique.

**Question 2.** Généraliser les estimées fondées sur la méthode spectrale à des domaines généraux, en dimension quelconque, et proposer de bonnes approximations de l’état fondamental du générateur pour des domaines quelconques en dimension 2.

**Question 3.** Quantifier l’influence de la conditions initiale sur les temps de sortie et sur la distribution des points de sortie, en comparant plus précisément les résultats obtenus pour une condition initiale distribuée selon la mesure quasi-stationnaire, et une condition initiale de type Dirac en un point intérieur du domaine. Intuitivement, la différence devrait être petite si le système reste coincé assez longtemps avant de sortir. D’un point de vue technique, la preuve de telles affirmations repose sur la leveling property, qui assure que la distribution quasi-stationnaire est assez plate loin des trous, au moins si la dimension est assez grande pour que la solution fondamentale du Laplacien ait une décroissance suffisamment rapide.

**Question 4**. Caractériser les temps de sortie et la distribution des points de sortie lorsque la dynamique Brownienne est remplacée par une