Invariants Universels en Topologie de Petite Dimension

**Invariants universels en topologie de petite dimension // Universal Invariants in Low-Dimensional Topology**:

- Réf **ABG-132130**
**ADUM-66105**
- Sujet de Thèse
- 22/05/2025
- Université Grenoble Alpes
- Lieu de travail- Grenoble Cedex - Auvergne-Rhône-Alpes - France
- Intitulé du sujet- Invariants universels en topologie de petite dimension // Universal Invariants in Low-Dimensional Topology
- Champs scientifiques- Mathématiques
- Mots clés- Topologie en petite dimension, invariants de type fini, intégrale de Kontsévich, groupe de difféotopies, invariant LMO, invariant de Casson
Low dimensional topology, finite type invariants, Kontsevich integral, mapping class group, LMO invariant, Casson invariant

**Description du sujet**:

- Le but de ce projet est d'appliquer la théorie des invariants de type fini, et plus particulièrement certains invariants universels pour cette théorie, tels l'intégrale de Kontsevich et invariant LMO - à l'étude de certains objets 'classiques' de la topologie en petite dimension.
Il se décline en deux directions largement indépendantes.

1. Extraire des représentations du groupes de difféotopies de l'intégrale de Kontsevich.

L'intégrale de Kontsevich est un invariant très riche (conjecturalement complet) des entrelacs de la 3-sphère. Elle fut généralisée par Andersen-Mattes-Reshetikhin (AMR) aux entrelacs de Sx[0,1], où S désigne une surface compacte orientée. Une donnée combinatoire centrale dans leur construction est une certaine décoration d'une triangulation de S : cette même donnée se retrouve dans la présentation donnée par Kashaev de l'espace de Teichmüller décoré de S. Cette description permet en particulier de décrire tout élément du groupe de difféotopies de S (le 'mapping class group') comme une suite d'opérations élémentaires appelées 'flips' sur une triangulation donnée de S.
Il est dès lors possible de d'extraire de nouvelles représentations du groupe de difféotopies de S en étudiant l'effet, au niveau de l'invariant AMR, d'un flip sur une triangulation de la surface. De telles représentations combinatoires donneraient une version significativement plus simple et exploitable que celles données par Andersen-Bene-Meilhan-Penner en 2010 par une approche similaire au niveau des invariants de 3-variétés.

2. Invariant de Casson d'ordre supérieur.

L'invariant LMO des 3-variétés closes se calcule à partir de l'intégrale de Kontsevich d'une présentation de chirurgie par un procédé combinatoire sophistiqué. Il prend ses valeurs dans un espace de diagrammes trivalents, et le coefficient du plus simple de ces diagrammes coïncide (à un facteur près) avec un invariant classique, l'invariant de Casson-Walker-Lescop. Le second terme, en revanche, est un invariant des 3-variétés qui est encore très largement incompris. On peut néanmoins tenter d'utiliser la construction de Kontsevich-LMO pour obtenir une formule de chirurgie globale de cet 'invariant de Casson d'ordre supérieur', noté \lambda_2. Ceci nécessite d'identifier, explicitement, en termes d'invariants d'entrelacs, les coefficients des termes de l'intégrale de Kontsevich qui contribuent à \lambda_2 (ce type de formule approfondissant notre compréhension de l'intégrale de Kontsevich constituant un résultat intéressant en soi), puis une analyse diagrammatique fine de la construction LMO sur ces termes.
Une telle formule de chirurgie pourrait guider ensuite un interprétation topologique de l'invariant \lambda_2, par exemple en termes de représentations du groupe fondamental, comme c'est le cas pour l'invariant de Casson.

The project unfolds along two largely independent directions.

1. Extracting representations of the diffeotopy group from the Kontsevich integral

The Kontsevich integral is a very rich (conjecturally complete) invariant of links in the 3-sphere. It was generalized by Andersen-Mattes-Reshetikhin (AMR) to links in S×[0,1], where S denotes a compact oriented surface. A central combinatorial ingredient in their construction is a specific decoration of a triangulation of S; this same combinatorial data also appears in Kashaev's description of the decorated Teichmüller space of S. This description, in particular, makes it possible to express any element of the diffeotopy group of S as a sequence of elementary operations called ‘flips' on a given triangulation of SS.
It is therefore possible to extract new representations of the diffeotopy group of S by studying the effect, at the level of the AMR invariant, of flips on a triangulation of the surface. Such combinatorial representations would provide a significantly simpler and more tractable alternative to those given by Andersen-Bene-Meilhan-Penner in 2010, who pursued a similar approach at the level of 3-manifold invariants.

2. Higher-order Casson invariant

The LMO invariant of closed 3-manifolds is computed from the Kontsevich integral of a surgery presentation via a sophisticated combinatorial procedure. It takes values in a space of trivalent diagrams